Matemática

Ponto de acumulação

Recorde que a é ponto de acumulação do conjunto X se para qualquer vizinhança I de a o conjunto I \(X{a}) tem pelo menos um elemento.

Limites

2 Limites laterais

Seja f uma função real de variável real e seja b .

  • Seja a um ponto de acumulação de ]-, a[ Df . Diz-se que b é o limite de f no ponto a à esquerda, ou é o limite de f(x) quando x tende para a por valores inferiores, e escreve-se

    se a toda a sucessão (xn) que tende para a por valores de Df menores que a corresponde uma sucessão (f(xn)) que tende para b.

  • Seja a um ponto de acumulação de ]a,+[ Df . Diz-se que b é o limite de f no ponto a à direita, ou é o limite de f(x) quando x tende para a por valores superiores, e escreve-se

    se a toda a sucessão (xn) que tende para a por valores de Df maiores que a corresponde uma sucessão (f(xn)) de valores de f(x) que tende para b.

Se o limite da sucessão (f(xn)), quando a sucessão (xn) que tende para a por valores de Df menores ou maiores que a, respectivamente, for + diz-se que não existe limite. Por analogia, continua-se a escrever

conforme os casos. O mesmo acontece quando o limite de (f(xn)) é –.

O limite à direita e o limite à esquerda são usualmente designados por limites laterais.

Recorde a seguinte propriedade da noção de limite: o limite f(x) existe se e só se os limites laterais f(x) e f(x) existem e forem iguais. Nesse caso tem-se que

.

Pode encontrar exemplos de cálculo de limites laterais nos Exemplos 2, 3, 4 e 8.